Matemáticas: Post sobre Productos Notables

PRODUCTOS NOTABLES:
Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Veremos ahora los siguientes productos notables básicos:

Binomio al cuadrado (suma)
Un binomio al cuadrado (suma) es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

Binomio al cuadrado (resta)

Un binomio al cuadrado (resta) es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

Binomio suma por binomio diferencia

Un binomio suma por un binomio diferencia es igual, a la resta del primer termino al cuadrado por el segundo término al cuadrado

(a + b) · (a − b) = a² − b²

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x² − 25

Binomio al cubo (suma)

Un binomio al cubo(suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³

= x ³ + 9x² + 27x + 27

Binomio al cubo (resta)

Un binomio al cubo(resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² - 3³

= 8x ³ - 36 x² + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primer término por el segundo, más el doble del primer término por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² =(x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1

= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x = x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

Suma de cubos
La suma de cubos : a3 + b3 es igual al raíz cubica al primer término con su exponente más la raíz cúbica del segundo término con su exponente, multiplicado por, el primer término al cuadrado, menos el primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² - 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común
El producto de dos binomio con un término común es igual al término común al cuadrado, más la suma del primer y segundo término multiplicado por el término común, más el primero por el segundo.

(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3)= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 

= x² + 5x + 6

USOS EN LA VIDA COTIDIANA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES
En simples problemas matemáticos, para adquirir más capacidad de razonamiento

Usar productos notables para simplificar expresiones

Simplifiquemos las siguientes expresiones: (2x + 3)², (3x – 4)² y (5x + 2)(5x – 2).
(2x + 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
(3x – 4)² = (3x)² – 2 · 3x · 4 + 4² = 9x² – 24x + 16
(5x + 2)(5x – 2) = (5x)² – 2² = 25x² – 4

Usar los productos notables para factorizar expresiones

Ejemplo 1: factorizar las siguientes expresiones: 9x² – 12x + 4; 81 – 9x² y 16x² + 24x + 9.
9x² – 12x + 4 = (3x)² – 2 · 3x · 2 + 2² = (3x – 2)²
81 – 9x² = 9² – (3x)² = (9 + 3x)(9 – 3x)
16x² + 24x + 9 = (4x)² + 2 · 4x · 3 + 3² = (4x + 3)²

Usar productos notables para operaciones del cálculo mental

Queremos calcular mentalmente: 53², 79² y 41 × 39.
Reescribimos cada operación para expresarla en forma de producto notable. Practiquémoslo mentalmente siguiendo estos pasos:
53² = (50 + 3)² = 50² + 2 × 50 × 3 + 3² = 2.500 + 300 + 9 = 2.809
79² = (80 – 1)² = 80² – 2 × 80 × 1 + 1² = 6.400 – 160 + 1 = 6.241
41 × 39 = (40 + 1)(40 – 1) = 40² – 1² = 1.600 – 1 = 1.599
En todas las áreas e la ingeniería son aplicados.

Sirven para calcular intensidades en circuitos eléctricos.
 

Para estimar el numero de individuos en un algoritmo genético.

Tres sencillos árboles de programa del tipo utilizado normalmente en la programación genética. Debajo se proporciona la expresión matemática que representa cada uno.

Sirven para calcular puntos de torsión en estructuras.

Domos de cristal planoconvexos

Medición de áreas, volúmenes o distancias que contengan elementos con productos notables.


HALLAR LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DEL ÁREA (A(x)) Y EL PERÍMETRO (P(x)) DE UN TRIÁNGULO EQUILATERO SI SU BASE ES x + 3 Y SU ALTURA ES x +1. HALLAR SU VALOR NUMÉRICO PARA A(2) Y P(2).



HALLAR LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DEL VOLUMEN, EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CUBO DE ARISTA x + 5. HALLAR EL VALOR NUMÉRICO SI V(1), A(1) Y P(1).




CONCLUSIONES:


Los productos notables, son maneras mas simples de interpretar una expresión y de saber como desarrollarla, pues ya bien su mismo nombre lo dice, son "notables". Son ejercicios que se pueden realizar a simple inspección, conociendo las fórmulas. Además, estos ejercicios también forman parte de la vida cotidiana, porque se van en campos importantes de ingeniería, problemas simples, para factorizar o su inverso, para la medición de áreas o perímetros de figuras que contengan productos notables, y muchas otras más.


Eso es todo. Muchas gracias por ver el post